ENIGMA: quando la matematica cominciò a custodire i segreti

Dalla macchina cifrante della Seconda guerra mondiale ad Alan Turing: un viaggio nella crittografia attraverso un simulatore interattivo.

Immaginate di dover inviare un messaggio importantissimo, sapendo che qualcuno potrebbe intercettarlo. Non potete evitare che venga letto, ma potete fare in modo che, anche finendo nelle mani sbagliate, risulti incomprensibile.

Il problema non è certamente nuovo. Già Giulio Cesare utilizzava un sistema di sostituzione delle lettere per proteggere alcune delle sue comunicazioni. Il principio era semplice: ogni lettera veniva sostituita con quella che si trovava tre posizioni più avanti nell'alfabeto.

Una regola matematica, dunque, permetteva di trasformare un messaggio leggibile in una sequenza apparentemente priva di significato.

Ma c'era un problema: una volta scoperta la regola, tutti i messaggi cifrati con quel sistema potevano essere letti. E, soprattutto, la regola non cambiava mai.

Con il passare dei secoli, i sistemi crittografici divennero sempre più elaborati, fino ad arrivare, nel Novecento, a una macchina destinata a entrare nella storia: Enigma.

Enigma è una macchina che non risponde mai nello stesso modo

A prima vista, somigliava a una macchina da scrivere racchiusa in una valigetta. Aveva una tastiera, un pannello di lampadine e alcuni rotori, dischi al cui interno erano presenti collegamenti elettrici.

Il suo funzionamento era tanto ingegnoso quanto sorprendente: premendo una lettera sulla tastiera, si chiudeva un circuito elettrico che attraversava una serie di collegamenti e faceva illuminare un'altra lettera. E quella era quella la lettera cifrata. Fin qui, nulla di particolarmente diverso da un sistema di sostituzione. La vera novità era che, a ogni pressione di un tasto, almeno uno dei rotori avanzava, modificando i collegamenti elettrici. Di conseguenza, la sostituzione utilizzata cambiava continuamente.

Supponiamo di digitare cinque volte la lettera A. Con una particolare configurazione iniziale, Enigma restituisce:

A A A A A → B D Z G O

La stessa lettera di partenza ha prodotto ben cinque lettere differenti!

Non si tratta di una scelta casuale. Il risultato è determinato da un insieme preciso di impostazioni e dal movimento dei rotori. Enigma utilizza trasformazioni delle lettere che possiamo descrivere attraverso le permutazioni, cioè particolari corrispondenze biunivoche tra gli elementi di un insieme (in questo caso l'insieme è quello delle lettere dell'alfabeto) .

Inoltre, il movimento dei rotori modifica queste trasformazioni secondo regole prestabilite. Ogni lettera cifrata dipende quindi non soltanto dalla lettera inserita, ma anche dallo stato della macchina in quel momento.

Alan Turing e il problema di decifrare Enigma

Alan Turing a Bletchley Park

Durante la Seconda guerra mondiale, Enigma fu utilizzata dalle forze armate tedesche per proteggere numerose comunicazioni militari. Il numero delle possibili configurazioni era enorme, e individuarne una corretta rappresentava un problema formidabile.

Il lavoro per violare Enigma non cominciò però in Inghilterra, infatti già negli anni Trenta tre matematici polacchi, Marian Rejewski, Jerzy Różycki e Henryk Zygalski, avevano ottenuto risultati fondamentali nello studio del sistema.

Le loro scoperte contribuirono al successivo lavoro dei crittoanalisti britannici a Bletchley Park, un centro segreto di decifrazione situato nei pressi di Londra. Tra questi c'era Alan Turing, matematico che nel 1936 aveva già elaborato una delle idee teoriche fondamentali dell'informatica moderna: la possibilità di descrivere un procedimento di calcolo attraverso una macchina astratta capace di eseguire istruzioni.

A Bletchley Park, Turing contribuì a progettare la Bombe, una macchina elettromeccanica destinata a individuare possibili impostazioni di Enigma, sviluppata ulteriormente grazie anche al contributo di Gordon Welchman. Non era una macchina che indovinava magicamente i messaggi, bensì sfruttava ragionamenti logici e relazioni tra lettere per scartare rapidamente moltissime configurazioni impossibili.

Ecco un passaggio straordinario nella storia della scienza: un problema matematico poteva essere affrontato costruendo una macchina capace di eseguire automaticamente una procedura logica.

Nello stesso centro di Bletchley Park, qualche anno dopo, sarebbe entrato in funzione anche Colossus, progettato dall'ingegnere Tommy Flowers per contribuire alla decifrazione dei messaggi prodotti dal diverso sistema Lorenz. Fu una delle tappe fondamentali nello sviluppo del calcolo elettronico.

Laboratorio - Simulatore di Enigma

La matematica, però, non è fatta soltanto per essere raccontata. Bisogna poterla osservare, manipolare, mettere alla prova. Per questo ho realizzato ENIGMA LAB, un simulatore interattivo che permette di sperimentare il funzionamento della celebre macchina cifrante.

Attraverso l'applicazione è possibile scrivere messaggi, osservare l'accensione delle lampadine, modificare le impostazioni dei rotori e vedere come una stessa lettera venga trasformata in modi differenti.

Si può anche cifrare un messaggio e provare successivamente a decifrarlo. Occorre però prestare attenzione a un dettaglio importante: per recuperare il testo originale bisogna ripristinare esattamente la configurazione iniziale utilizzata durante la cifratura! È una caratteristica particolarmente interessante di Enigma: grazie alla presenza del riflettore, con le medesime impostazioni iniziali la macchina poteva essere utilizzata sia per cifrare sia per decifrare.

Provate a modificare anche una sola impostazione e osservate che cosa accade. Il messaggio che prima risultava comprensibile può trasformarsi nuovamente in una sequenza di lettere senza significato apparente.

Il simulatore riproduce il funzionamento di una configurazione storica a tre rotori di Enigma, permettendo di esplorarne i meccanismi senza dover possedere la macchina originale.

Dalla crittografia alla nascita dell'informatica

In Enigma incontriamo la matematica delle permutazioni, l'elettricità dei circuiti, la logica degli algoritmi e la necessità di automatizzare operazioni ripetitive. Incontriamo anche la storia, perché quelle trasformazioni matematiche non erano esercizi astratti: proteggevano informazioni dalle quali potevano dipendere decisioni militari e vite umane.

La crittografia non è rimasta confinata alle macchine del Novecento. Oggi sistemi matematici molto più sofisticati proteggono comunicazioni, operazioni bancarie e dati personali.

Eppure la domanda di fondo è rimasta sorprendentemente simile: come possiamo trasformare un'informazione in modo che soltanto chi possiede le informazioni necessarie per decifrarla possa leggerla? È una domanda che attraversa più di duemila anni di storia e che continua a richiedere nuove risposte.