La teoria degli insiemi: dalle collezioni all’infinito
La teoria degli insiemi nasce nella seconda metà dell’Ottocento per affrontare problemi riguardanti i numeri, le funzioni e l’infinito. In seguito diventa un linguaggio comune con cui descrivere e collegare gran parte della matematica.
L’idea di raggruppare oggetti è molto più antica. La novità consiste nel considerare queste collezioni come veri e propri oggetti matematici, dei quali studiare proprietà e relazioni.
Indice
Dalle collezioni al problema dell’infinito
Quando contiamo, consideriamo oggetti diversi come elementi di una stessa collezione. Per capire se due collezioni sono ugualmente numerose possiamo anche evitare di contarle: basta abbinare i loro elementi uno a uno.
Se ogni alunno occupa una sedia e non rimangono né alunni in piedi né sedie vuote, sappiamo che alunni e sedie sono in ugual numero.
Questo procedimento funziona bene con le collezioni finite. Ma che cosa succede quando gli elementi sono infiniti?
Già nell’antichità si distingueva fra infinito potenziale, inteso come un processo che può proseguire indefinitamente, e infinito attuale, inteso come una totalità infinita considerata nel suo insieme.
Contare aggiungendo ogni volta un’unità richiama l’infinito potenziale: possiamo sempre continuare e non arriveremo mai all’ultimo numero naturale. Considerare invece tutti i numeri naturali come un unico oggetto, l’insieme ℕ, significa ragionare su una totalità infinita.
Accettare e studiare queste totalità sarà un passaggio fondamentale per la nascita della teoria degli insiemi.
Galileo e il confronto tra naturale e quadrati
Nel 1638 Galileo presentò un esempio che mostrava quanto l’infinito fosse lontano dall’esperienza quotidiana: il confronto fra i numeri naturali positivi e i quadrati perfetti.
Consideriamo queste due successioni:
Naturali positivi: 1, 2, 3, 4, 5, …
Quadrati perfetti positivi: 1, 4, 9, 16, 25, …
I quadrati sono soltanto una parte dei naturali: numeri come 2, 3, 5 e 6 non sono quadrati perfetti. Eppure ogni naturale ha un unico quadrato e ogni quadrato perfetto positivo corrisponde a un unico naturale.
Possiamo quindi costruire questo abbinamento:
1 ↔ 1
2 ↔ 4
3 ↔ 9
4 ↔ 16
5 ↔ 25…
Come può una parte essere numerosa quanto il tutto?
Galileo riconobbe la difficoltà di applicare all’infinito le consuete idee di “maggiore”, “minore” e “uguale”. Nell’Ottocento questa apparente stranezza diventerà una proprietà da studiare rigorosamente.
L'Ottocento e il bisogno di definire i numeri
Un’altra esigenza nasceva dallo sviluppo dell’analisi matematica: limiti, derivate e integrali richiedevano una comprensione precisa dei numeri reali e della continuità.
Consideriamo √2. Possiamo approssimarlo con numeri decimali:
1,4;
1,41;
1,414;
1,4142;
…
Nessuna di queste approssimazioni, però, coincide con esso e, inoltre, nessun numero razionale ha quadrato uguale a 2.
Come costruire rigorosamente un sistema numerico che contenga anche questo numero?
Nel 1872 Richard Dedekind affrontò il problema mediante le sezioni dei razionali: particolari suddivisioni dell’insieme ℚ in due parti. Per intuire l’idea, immaginiamo di separare i razionali che si trovano prima di √2 da quelli che si trovano dopo. Questa separazione individua una posizione alla quale non corrisponde alcun numero razionale.
Il procedimento di Dedekind permette di definire rigorosamente il numero reale corrispondente a quella separazione, senza presupporre di conoscerlo già.
Gli insiemi assumevano così una funzione decisiva: collezioni di numeri già conosciuti permettevano di costruire e definire nuovi numeri.
Cantor e la nascita della teoria degli insiemi
Il principale fondatore della teoria fu Georg Cantor. Le sue ricerche sulle serie trigonometriche, espressioni costruite sommando termini contenenti seni e coseni, lo portarono a studiare particolari insiemi di punti della retta. Da questi problemi dell’analisi passò a domande più generali: come si confrontano due insiemi infiniti? Sono tutti ugualmente numerosi? Il suo articolo del 1874 è considerato una tappa fondativa della teoria degli insiemi.
Cantor utilizzò la corrispondenza biunivoca per confrontare la numerosità degli insiemi, chiamata cardinalità. Due insiemi hanno la stessa cardinalità quando i loro elementi possono essere abbinati uno a uno, senza ripetizioni e senza lasciare elementi esclusi.
Per esempio, i naturali positivi e i numeri pari positivi hanno la stessa cardinalità:
1 ↔ 2
2 ↔ 4
3 ↔ 6
4 ↔ 8
…
La regola consiste nell’associare a ogni naturale il suo doppio.
Questo non significa che i due insiemi siano uguali: il numero 1 appartiene soltanto al primo. Significa che hanno la stessa cardinalità.
Un insieme infinito può quindi avere la stessa numerosità di una sua parte propria.
L'Hotel di Hilbert: un albergo pieno che può accogliere altri ospiti
Per comprendere questa proprietà possiamo ricorrere al celebre esperimento mentale dell’hotel di Hilbert. Immaginiamo un albergo con infinite stanze, numerate: 1, 2, 3, 4, 5, …
Tutte le stanze sono occupate e ciascuna ospita una persona. Arriva un nuovo cliente: il portiere può trovargli posto?
In un albergo finito e completamente occupato, la risposta sarebbe negativa. Nell’hotel infinito, invece, esiste una soluzione.
Il portiere chiede a ogni ospite di trasferirsi nella stanza successiva:
l’ospite della stanza 1 passa nella stanza 2;
quello della stanza 2 passa nella stanza 3;
quello della stanza 3 passa nella stanza 4;
e così via.
Ogni ospite trova una sistemazione, perché esiste sempre una stanza successiva. La stanza 1 rimane libera per il nuovo arrivato.
Il procedimento funziona perché non esiste un’ultima stanza il cui occupante rimanga senza posto.
Ora immaginiamo che arrivino infiniti nuovi ospiti, numerati anch’essi 1, 2, 3, …
Il portiere chiede a ogni cliente già presente di trasferirsi nella stanza con numero doppio:
1 → 2
2 → 4
3 → 6
4 → 8…
Gli ospiti iniziali occupano tutte le stanze pari. Restano libere tutte le stanze dispari, nelle quali vengono sistemati i nuovi arrivati:
il primo nuovo ospite entra nella stanza 1;
il secondo nella stanza 3;
il terzo nella stanza 5;
e così via.
L’albergo, inizialmente pieno, riesce ad accogliere anche un’infinità numerabile di nuovi clienti.
L’esempio traduce in una situazione concreta la corrispondenza fra naturali e pari. Non descrive un albergo realizzabile: serve a esplorare le conseguenze matematiche dell’infinito.
La scoperta dell'esistenza di infiniti diversi
A questo punto potremmo pensare che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità. Cantor dimostrò che in realtà non è così.
I numeri naturali sono numerabili.
Anche i numeri razionali, pur essendo fittamente distribuiti sulla retta, sono numerabili: è possibile organizzarli in una successione che li comprenda tutti.
“Numerabile” non significa che possiamo terminare il conteggio. Significa che possiamo assegnare a ogni elemento una posizione in un elenco: primo, secondo, terzo, e così via.
I numeri reali, invece, non sono numerabili.
Per intuire il motivo, immaginiamo di aver elencato tutti i numeri reali compresi fra 0 e 1, scrivendoli in forma decimale.
Possiamo costruire un nuovo numero scegliendo:
la prima cifra decimale diversa dalla prima cifra del primo numero;
la seconda diversa dalla seconda cifra del secondo;
la terza diversa dalla terza cifra del terzo;
e così via.
Scegliendo opportunamente le cifre, in modo da evitare le ambiguità delle rappresentazioni decimali, otteniamo un numero diverso da ciascun numero dell’elenco.
Quindi l’elenco non poteva essere completo.
Questa è l’idea dell’argomento diagonale, elaborato da Cantor successivamente alla sua prima dimostrazione del 1874.
L’infinito dei numeri reali è più grande di quello dei naturali. La teoria degli insiemi permetteva così di attribuire un significato preciso all’espressione “infiniti di grandezza diversa”.
Russel e crisi dei fondamenti
La nuova teoria apriva possibilità enormi, ma occorreva chiarire quali collezioni potessero essere considerate insiemi. L’idea che ogni proprietà individuasse automaticamente un insieme sembrava naturale. Nel 1901 Bertrand Russell mostrò che, senza restrizioni, questa idea conduce a una contraddizione.
Consideriamo il presunto insieme R di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi.
La domanda è: R appartiene a sé stesso?
Se vi appartiene, deve soddisfare la proprietà richiesta per essere un suo elemento: quindi non deve appartenere a sé stesso.
Se invece non vi appartiene, soddisfa proprio la proprietà richiesta: quindi deve appartenere a sé stesso.
Entrambe le risposte producono una contraddizione.
Il paradosso mostrava che non basta formulare una proprietà per poter affermare che esista l’insieme di tutti gli oggetti che la soddisfano. Era necessario stabilire regole precise per la formazione degli insiemi.
Dall'intuizione agli assiomi
Il paradosso di Russell aveva mostrato che una descrizione apparentemente precisa poteva nascondere una contraddizione. Non era quindi sufficiente dire: “Consideriamo tutti gli oggetti che soddisfano una certa proprietà” per essere sicuri di aver individuato un insieme ammissibile.
Nel 1908 il matematico Ernst Zermelo propose di fondare la teoria degli insiemi su un sistema di assiomi, cioè principi di base che specificano le proprietà degli insiemi e le costruzioni consentite. I successivi sviluppi portarono alla teoria di Zermelo–Fraenkel, comunemente accompagnata dall’assioma della scelta e indicata con la sigla ZFC.
Per comprendere l’idea centrale, immaginiamo di avere un insieme già disponibile:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Possiamo selezionare al suo interno gli elementi che soddisfano una proprietà, per esempio “essere pari”. Otteniamo:
B = {2, 4, 6}
Questa operazione è garantita dal principio di separazione: partendo da un insieme, possiamo formarne un sottoinsieme scegliendo gli elementi che soddisfano una determinata condizione.
La differenza fondamentale riguarda quindi il punto di partenza:
affermare che una proprietà individui un insieme fra tutti gli oggetti possibili, senza alcuna restrizione, può condurre a contraddizioni;
selezionare gli elementi che soddisfano una proprietà all’interno di un insieme già dato è una costruzione ammessa.
Ma che cosa succede se applichiamo proprio la proprietà usata da Russell?
Partiamo da un insieme A e selezioniamo i suoi elementi che non appartengono a sé stessi. Chiamiamo R il sottoinsieme ottenuto.
R contiene soltanto gli elementi di A che soddisfano la condizione.
Se R non appartiene a sé stesso, questo non basta a concludere che debba appartenervi: per essere incluso in R dovrebbe anche essere un elemento di A. Viene così meno il passaggio che produceva la contraddizione nel ragionamento di Russell.
La teoria assiomatica, inoltre, non ammette un insieme che contenga tutti gli insiemi. Manca quindi proprio quel contenitore universale dal quale si potrebbe tentare di ricavare l’insieme paradossale di Russell.
Gli altri assiomi consentono ulteriori costruzioni: per esempio, formare un insieme a partire da due oggetti, costruire l’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme dato e garantire l’esistenza di un insieme infinito. La separazione è dunque una delle regole della teoria, insieme ad altre che permettono di sviluppare la matematica.
Il contributo di Zermelo fu trasformare il modo di lavorare con gli insiemi: ogni costruzione doveva trovare una giustificazione in regole dichiarate, rendendo possibile controllare con precisione i passaggi dei ragionamenti.
Perché si studiano gli insiemi a scuola
Storicamente, la teoria degli insiemi nasce da problemi avanzati. A scuola la incontriamo presto perché offre un linguaggio utile fin dai primi argomenti.
Consideriamo l’equazione:
x² = 2
Se cerchiamo soluzioni fra i numeri razionali, l’insieme delle soluzioni è vuoto. Se lavoriamo fra i reali, le soluzioni sono −√2 e √2.
Precisare l’insieme nel quale lavoriamo cambia le risposte possibili.
Gli insiemi permettono, inoltre, di descrivere il dominio di una funzione, i punti di una figura geometrica, gli eventi di un esperimento casuale e le soluzioni di un sistema.
In un sistema, per esempio, un valore deve soddisfare contemporaneamente più condizioni. Cercarne le soluzioni significa quindi individuare gli elementi comuni ai rispettivi insiemi delle soluzioni, cioè costruire la loro intersezione.
La teoria degli insiemi offre così strumenti per precisare di quali oggetti parliamo, quali proprietà devono soddisfare e quali relazioni esistono fra loro. La sua nascita risponde a esigenze profonde: definire rigorosamente i numeri, studiare l’infinito e costruire un quadro comune per la matematica.
Schema Riassuntivo
Commenti