Il principio di Archimede: dalla leggenda della corona alla verifica sperimentale

Quando immergiamo un oggetto nell’acqua, ci sembra che pesi meno. Possiamo accorgercene anche entrando in piscina, quando riusciamo a muoverci e a sostenere il nostro corpo con una facilità diversa rispetto a quando siamo fuori. È un’esperienza comune, dietro la quale c’è il principio di Archimede, spesso ricordato insieme alla celebre storia della corona d’oro e del grido «Eureka!».

La vicenda si svolge a Siracusa, nel III secolo a.C. Il re Gerone II aveva commissionato a un orafo una corona da offrire agli dèi, fornendogli una determinata quantità d’oro. Una volta ricevuto il lavoro, però, aveva cominciato a sospettare che l’artigiano avesse sostituito parte dell’oro con dell’argento, tenendo per sé il metallo prezioso avanzato.

Pesando la corona non si trovavano differenze rispetto all’oro consegnato, ma questo non era sufficiente a garantire che l’orafo fosse stato onesto: avrebbe potuto sostituire l’oro sottratto con una massa uguale d’argento. Gerone affidò quindi il problema ad Archimede, chiedendogli di verificare la composizione della corona senza danneggiarla. Fonderla per esaminarne il materiale, dunque, non era una soluzione possibile.

Secondo la leggenda, Archimede trovò la soluzione mentre faceva il bagno. Immergendosi in una vasca colma, osservò che l’acqua traboccava e si rese conto che il volume del liquido fuoriuscito corrispondeva a quello della parte del suo corpo immersa. Poteva utilizzare la stessa osservazione per misurare il volume della corona, nonostante la sua forma irregolare.

Il ragionamento si basava su una proprietà dei materiali: la densità. L’oro è più denso dell’argento, quindi, a parità di massa, occupa meno spazio. Se la corona fosse stata d’oro puro, avrebbe spostato la stessa quantità d’acqua di un campione d’oro della medesima massa; se avesse contenuto anche argento, avrebbe occupato un volume maggiore e fatto traboccare più acqua.

La soddisfazione per l’intuizione sarebbe stata tale da far uscire Archimede dalla vasca e correre nudo per le strade di Siracusa gridando «Eureka!», ossia «Ho trovato!». Il successivo confronto tra l’acqua spostata dalla corona e quella spostata dai campioni di metallo avrebbe confermato il sospetto del re, smascherando l’orafo.

A raccontare l’episodio è Vitruvio, circa due secoli dopo. Non sappiamo se le cose siano andate davvero così, e la corsa per le strade appartiene alla leggenda tramandata fino a noi.

La storia della corona riguarda la misura del volume e il confronto tra densità. Il principio di Archimede descrive invece la forza che un fluido esercita su un corpo immerso:

Un corpo immerso, completamente o parzialmente, in un fluido riceve una spinta verticale verso l’alto pari al peso del fluido spostato.

È questa spinta a farci percepire un oggetto come più leggero quando si trova nell’acqua. La sua massa rimane la stessa, così come il suo peso, ma il fluido esercita una forza verso l’alto: per sostenerlo occorre quindi una forza minore.

Per verificare il principio possiamo appendere un oggetto a un dinamometro, misurare il suo peso in aria e poi immergerlo nell’acqua, senza farlo appoggiare sul fondo. La lettura del dinamometro diminuisce e la differenza tra le due misure ci permette di determinare la spinta ricevuta. Raccogliendo l’acqua spostata e misurandone il peso, possiamo controllare se le due grandezze coincidono, entro le incertezze sperimentali.

Nella simulazione possiamo seguire questi passaggi, osservare le letture degli strumenti e raccogliere i dati necessari per verificare il principio.

Laboratorio

Formulazione del principio di Archimede

Il principio di Archimede afferma che un corpo immerso, completamente o parzialmente, in un fluido riceve una spinta verticale diretta verso l’alto, pari al peso del fluido spostato. La sua intensità si calcola con la relazione

, dove

è la densità del fluido e

il volume della parte immersa del corpo. A parità di volume immerso, quindi, la spinta è maggiore in un fluido più denso; nello stesso fluido, invece, aumenta all’aumentare del volume immerso. Non dipende direttamente dalla massa del corpo e, se il fluido ha densità uniforme e il corpo mantiene lo stesso volume immerso, non cambia con la profondità. La risultante della spinta si applica nel centro di spinta, che coincide con il baricentro del volume di fluido spostato. Il principio vale sia nei liquidi sia nei gas e permette di studiare il galleggiamento confrontando la spinta con il peso del corpo: se agiscono soltanto queste due forze, il corpo accelera verso il basso quando prevale il peso e verso l’alto quando prevale la spinta, mentre la loro uguaglianza determina l’equilibrio delle forze.

Le applicazioni pratiche del principio di Archimede

Il principio di Archimede permette di spiegare come galleggia una nave, come si regola l’immersione di un sommergibile e perché una mongolfiera riesce a sollevarsi. La spinta, infatti, si manifesta in tutti i fluidi: riguarda l’acqua e gli altri liquidi, ma anche i gas, compresa l’aria che ci circonda.

• Navi, barche e strutture galleggianti

Una nave può essere costruita in acciaio e galleggiare, mentre un piccolo pezzo dello stesso materiale affonda. Per capire perché, dobbiamo considerare anche lo spazio interno dello scafo, occupato in gran parte dall’aria: il rapporto tra la massa complessiva della nave e il volume che occupa è molto diverso da quello di un blocco compatto d’acciaio.

Lo scafo si immerge fino a spostare una quantità d’acqua il cui peso uguaglia quello della nave e del suo carico. Quando si aggiungono merci o passeggeri, la nave scende maggiormente nell’acqua, aumentando il volume immerso e quindi la spinta ricevuta. Questo spiega anche perché esiste un limite di carico: lo scafo deve mantenere una parte sufficiente fuori dall’acqua per navigare in sicurezza.

Lo stesso criterio viene utilizzato per progettare pontili, piattaforme galleggianti e boe. La distribuzione dei pesi e la forma della struttura devono inoltre assicurare la stabilità, evitando che il sistema si capovolga.

• Sommergibili e sottomarini

Un sommergibile regola la propria immersione attraverso apposite casse di zavorra. Quando vi entra acqua, la massa complessiva aumenta, mentre il volume esterno rimane pressoché invariato: il peso può così superare la spinta e il mezzo scende.

Per risalire, l’acqua viene espulsa dalle casse mediante aria compressa, riducendo la massa. Quando peso e spinta si equilibrano, il sommergibile può mantenersi a una determinata profondità, con ulteriori regolazioni dell’assetto e l’impiego dei suoi sistemi di governo.

• Giubbotti salvagente e altri dispositivi di galleggiamento

Un giubbotto salvagente aggiunge al corpo un volume considerevole con un aumento di massa limitato. Quando viene immerso, sposta acqua e riceve una spinta che contribuisce a sostenere la persona.

Il volume necessario può essere ottenuto con materiali espansi oppure con camere gonfiabili. Lo stesso principio viene sfruttato nei salvagenti anulari e nei galleggianti utilizzati durante il nuoto.

• Nuoto e immersioni subacquee

In acqua il nostro corpo riceve una spinta verso l’alto che ne riduce il peso apparente. La facilità con cui galleggiamo dipende dalla densità media del corpo e anche dall’aria contenuta nei polmoni: inspirando, il volume aumenta e il galleggiamento può risultare più facile.

I subacquei utilizzano la zavorra e il GAV, il giubbetto ad assetto variabile, per controllare questo equilibrio. Introducendo aria nel GAV aumentano il volume d’acqua spostata e quindi la spinta; scaricandola, la riducono. Durante la discesa, inoltre, l’aria si comprime, perciò l’assetto deve essere regolato al variare della profondità.

• Mongolfiere, palloni aerostatici e dirigibili

Anche l’aria esercita una spinta di Archimede. Una mongolfiera contiene aria riscaldata, meno densa di quella esterna: se la spinta dovuta all’aria spostata supera il peso complessivo dell’involucro, dell’aria interna, della cesta e dei passeggeri, la mongolfiera sale.

I palloni a elio e i dirigibili sfruttano invece un gas meno denso dell’aria circostante. In entrambi i casi bisogna considerare il peso dell’intero sistema, non soltanto quello del gas contenuto nell’involucro.

• Densimetri, alcolometri e mostimetri

Il densimetro è uno strumento galleggiante che permette di misurare la densità di un liquido attraverso la profondità a cui si immerge.

In un liquido più denso basta spostare un volume minore per equilibrare il peso dello strumento, che quindi rimane più emerso. In un liquido meno denso, invece, il densimetro deve immergersi maggiormente. Una scala graduata consente di leggere la misura.

Su questo funzionamento si basano anche strumenti destinati a impieghi specifici, come gli alcolometri per miscele di acqua e alcol e i mostimetri utilizzati per stimare il contenuto zuccherino del mosto, rispettando le condizioni di taratura.

• Misura del volume e della densità di un solido

La pesata idrostatica permette di ricavare il volume di un oggetto confrontando il suo peso in aria con il peso apparente quando è completamente immerso in un liquido di densità nota.

La differenza tra le letture corrisponde, trascurando la piccola spinta dell’aria, alla spinta esercitata dal liquido. Da questa si determina il volume del corpo e, conoscendone la massa, la densità.

È un metodo utile per oggetti dalla forma irregolare e per il controllo dei materiali. Può aiutare a individuare una composizione diversa da quella attesa, anche se la sola densità non permette sempre di identificare con certezza tutte le sostanze presenti.

• Galleggianti nei serbatoi e negli impianti

Nelle cassette di scarico, in alcuni serbatoi e in diversi indicatori di livello, un galleggiante segue la superficie del liquido. Quando il livello sale, il galleggiante si solleva e può azionare una valvola, un interruttore o un sensore.

Il principio di Archimede permette quindi di trasformare una variazione del livello in un movimento utilizzabile per controllare il riempimento o segnalare la quantità di liquido presente.

• Bacini di carenaggio galleggianti

Per eseguire lavori sulla parte immersa dello scafo si possono utilizzare grandi bacini galleggianti. Allagando le loro casse di zavorra, il bacino si abbassa e consente alla nave di entrare; pompando fuori l’acqua, torna a sollevarsi e porta con sé la nave, appoggiata su sostegni predisposti.

È un’applicazione dello stesso meccanismo utilizzato dai sommergibili, adattato al sollevamento di carichi molto grandi.

• Recupero di oggetti sommersi

Per sollevare dal fondale attrezzature o parti di relitti si utilizzano anche palloni di sollevamento riempiti d’aria. Il loro volume permette di spostare acqua e ottenere una spinta che contribuisce a sostenere il carico.

Durante la risalita l’aria si espande, perciò il sollevamento deve essere controllato per evitare che diventi troppo rapido.

• Separazione di materiali

Le differenze di densità possono essere sfruttate per separare materiali immersi in uno stesso liquido: quelli meno densi del liquido tendono a galleggiare, mentre quelli più densi tendono ad affondare.

Questo criterio viene impiegato, per esempio, in alcuni processi di selezione delle plastiche e nel trattamento di materiali. La separazione reale dipende anche dalla presenza di cavità, dall’aria intrappolata e dalle caratteristiche dei pezzi.

• Riabilitazione e attività motoria in acqua

La spinta dell’acqua riduce la forza con cui il corpo grava sugli appoggi. Questo permette di svolgere esercizi e movimenti con un carico minore sugli arti rispetto a quello sostenuto fuori dall’acqua.

L’effetto dipende da quanto corpo è immerso: aumentando il volume immerso, aumenta la spinta. Nelle attività in acqua intervengono anche altre proprietà del fluido, come la resistenza al movimento.

• Il controllo della spinta negli impianti e nelle costruzioni

La spinta di Archimede deve essere considerata anche quando il galleggiamento sarebbe indesiderato. Un serbatoio interrato vuoto, per esempio, può ricevere dall’acqua di falda una spinta sufficiente a sollevarlo, se non è adeguatamente ancorato.

Per lo stesso motivo, nella progettazione di condotte sommerse e altre strutture immerse occorre valutare il rapporto tra peso e spinta, prevedendo zavorre o ancoraggi quando necessari.

Sintesi