La parabola come luogo geometrico

Un LUOGO GEOMETRICO è l’insieme dei punti del piano che godono di una determinata proprietà.

DEFINIZIONE. Fissati nel piano una retta d e un punto F che non appartiene a d, si dice PARABOLA di fuoco F e direttrice d il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d.

Schema della parabola con gli elementi base

La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice si chiama ASSE della parabola (ed è asse di simmetria per la parabola.

Il punto dell’asse che appartiene alla parabola si chiama VERTICE della parabola.

Gli elementi fondamentali di una parabola sono:

• il fuoco

• la direttrice

• il vertice

• l’asse di simmetria.

P è un punto generico della parabola.

Si può facilmente verificare che si chiama parabola l'insieme dei punti del piano P(x;y) che verificano la seguente equazione:

con a, b e c numeri reali e a diverso da zero.

Ѐ chiaro che a deve essere diverso da zero perché altrimenti l'equazione rappresenterebbe una retta.

Per determinare i punti notevoli, l'asse di simmetria e la direttrice basta sostituire i valori numerici alle seguenti espressioni:

• VERTICE:

• FUOCO:

• ASSE DI SIMMETRIA:

• DIRETTRICE:

ESEMPIO. Determinare Vertice, Fuoco, asse di simmetria e direttrice della parabola di equazione

Come primo passaggio individuiamo i coefficienti e calcoliamo il delta:

quindi avremo:

• Vertice:

• Fuoco:

• Asse di simmetria:

• Direttrice:

Volendo rappresentare quanto ricavato finora in un riferimento cartesiano avremo:

Schematizzando:

Il grafico in generale della parabola e i suoi elementi fondamentali: