I sistemi lineari

Esistono situazioni complesse che vedono in gioco tante quantità in contemporanea e devono sottostare a delle condizioni valide in contemporanea anch’esse.

Sapreste trovare la soluzione all'enigma sopra? che valore ha una mela? o una mora? e una banana?

Pensiamo, per esempio, all’organizzazione del trasporto su una linea ferroviaria. Ci sono orari, distanze, velocità, quantità di merci o numero di passeggeri, composizione dei treni. Tutto questo spesso deve fare i conti con il fatto che i viaggi avvengono su due binari, uno per l’andata ed uno per il ritorno, o in alcuni casi, su un unico binario. Anche la messa in orbita di un satellite richiede calcoli complessi e precisi di accelerazione, velocità, curvatura della traiettoria, quantità di carburante e così via.

Questo è simile alla risoluzione di giochi di enigmistica come il sudoku, in cui ogni casella può assumere valori da 1 a 9, ma in modo tale che lo stesso numero non venga ripetuto sulla stessa riga, sulla stessa colonna e sullo stesso quadrato 3x3. Le variabili e le condizioni da soddisfare contemporaneamente sono tante.

Tutti questi problemi possono essere risolti con lo stesso strumento matematico: i sistemi lineari.

Vediamo un breve video introduttivo in cui vengono presentati tutti i concetti esposti di seguito. Ti consiglio di vedere il video con attenzione e poi di soffermarti nello studio dei concetti introdotti di seguito:

Vediamo di riprendere e sviluppare i concetti appena introdotti:

DEFINIZIONE. Un SISTEMA DI EQUAZIONI è l’insieme di due o più equazioni che devono essere verificate contemporaneamente.

DEFINIZIONE. L’insieme delle soluzioni di un sistema è formato dalle soluzioni che verificano tutte le equazioni contemporaneamente.

Per indicare un sistema si scrivono le sue equazioni all’interno di una parentesi graffa aperta:

Vediamo che il sistema è costituito da due equazioni in due incognite, x e y.

DEFINIZIONE. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.

Il grado di un’equazione è il massimo grado a cui risulta elevata l’incognita. Essendo uno, il sistema è di primo grado.

I sistemi di primo grado si dicono SISTEMI LINEARI.

ESEMPIO 1. Il sistema

è lineare, perché sia x che y hanno come grado 1.

ESEMPIO 2. Il sistema

non è un sistema lineare, perché x è di secondo grado, mentre y di primo, pertanto il sistema risulta essere di secondo grado.

Sulla base delle soluzioni che ammette il sistema è possibile parlare di sistemi determinati, indeterminati o impossibili.

La SOLUZIONE di un sistema di due equazioni in due incognite è una coppia ordinata di numeri che soddisfa entrambe le equazioni.

Per esempio il sistema

ha come soluzione la coppia ordinata (1;5) che equivale a dire che la soluzione del sistema è x=1 e y=5.

Come si fa a verificare che la coppia trovata sia effettivamente la soluzione del sistema?

Basta sostituire alle incognite i relativi valori e vedere se si ottengono effettivamente due identità:

si ottengono due identità, quindi la soluzione è chiaramente verificata.

Un sistema è:

• DETERMINATO, se ammette un numero finito di soluzioni;

• INDETERMINATO, se ammette un numero infinito di soluzioni;

• IMPOSSIBILE, se non ammette soluzioni.

Due o più sistemi sono EQUIVALENTI se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Per risolvere i sistemi si utilizzano dei metodi, che sono:

1. SOSTITUZIONE

2. CONFRONTO

3. RIDUZIONE

4. CRAMER

I metodi possono essere utilizzati indistintamente e condurranno alla stessa soluzione.

Un sistema di due equazioni in due incognite si dice scritto in forma canonica o normale se è scritto sotto la forma:

Dove i termini in x ed in y stanno a primo membro mentre i termini noti a secondo membro.

I numeri 7 e 3 si chiamano coefficienti della variabile x, mentre 1 e -2 si dicono coefficienti della variabile y. 6 e -9 sono, invece, i termini noti.

Il termine coefficiente deriva dal latino CUM = con, insieme ed EFFICIENTE(M) = participio presente di efficere, cioè produrre. Di fatto è il numero o quantità conosciuta posta avanti ad una quantità algebrica che la moltiplica. È detta così perché la quantità algebrica ed il coefficiente concorrono a generare un solo prodotto.